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Con il termine origàmi si intende l’arte di piegare la carta (折り紙, termine derivato dal giapponese, ori piegare e kami carta) e, sostantivato, l’oggetto che ne deriva. Esistono tradizioni della piegatura della carta anche in Cina (Zhe Zhi” 折纸), tra gli Arabi ed in occidente. La tecnica moderna dell’origami usa pochi tipi di piegature combinate in una infinita varietà di modi per creare modelli anche estremamente complicati. In genere, questi modelli cominciano da un foglio quadrato, i cui lati possono essere di colore differente e continua senza fare tagli alla carta, ma l’origami tradizionale era molto meno rigido e faceva frequente uso di tagli, oltre a partire da basi non necessariamente quadrate. Alla base dei principi che regolano l’origami, vi sono senz’altro i principi shintoisti del ciclo vitale e dell’accettazione della morte come parte di un tutto: la forma di carta, nella sua complessità e fragilità, è simbolo del tempio shintoista che viene ricostruito sempre uguale ogni vent’anni, e la sua bellezza non risiede nel foglio di carta. Alla morte del supporto, la forma viene ricreata e così rinasce, in un eterno ciclo vitale che il rispetto delle tradizioni mantiene vivo.

Pieghe, tecniche e basi

I passaggi per ottenere una piega rovesciata all’interno

Il procedimento per la maggior parte degli origami si può suddividere in passi più semplici costituiti da un succedersi di pieghe. Le principali sono:

  • piega a valle, ottenuta piegando il lembo del foglio in modo che all’osservatore la piega così ottenuta formi un avvallamento;
  • piega a monte, ottenuta piegando il lembo del foglio in modo che all’osservatore la piega così ottenuta formi uno spigolo;
  • piega a fisarmonica o doppia piega semplice, costituita da una piega a valle ed una a monte successiva;
  • piega a libro, una piega a valle che coinvolge una parte di foglio già modellata da altre pieghe, che viene così mossa lungo una direttrice come, appunto, se si stesse sfogliando un libro;

Inoltre, numerose figure origami prendono le mosse da una forma di base, una figura piana semplice realizzata sempre nello stesso modo e da cui si sviluppa la variazione che porta alla figura completa. Le principali basi sono:

  • base aquilone, costituita dalla piegatura di due lati del foglio adiacenti allo stesso angolo di modo che combacino lungo la diagonale e poi da una piegatura lungo quella stessa diagonale;
  • base pesce, una complessa forma il cui risultato finale è un rombo, così chiamata perché da essa si sviluppa in poche mosse la forma della carpa;
  • base quadrata, una base che assume la forma indicata dal suo nome dopo due successive pieghe a valle di un quadrato lungo le diagonali;
  • base triangolare, una base che assume la forma indicata dal suo nome dopo due successive pieghe a valle di un quadrato lungo le mediane;
  • base gru, variante della base pesce da cui prende forma in poche mosse la tradizionale gru augurale;
  • base fiore, ibrido tra la base quadrata e la base gru da cui si realizza il crisantemo;
  • base busta, una base molto recente ispirata ai passaggi per la realizzazione del crisantemo;
  • base girandola, un’elaborazione della base busta

Materiali

Per realizzare un origami l’unico materiale che serve è la carta. Per gli origami di livello semplice o intermedio può essere utilizzato quasi qualunque tipo di carta. Si riportano di seguito alcuni tipi di carta di ampio utilizzo presso gli appassionati di origami.

  • carta da fotocopie, bianca o colorata, indicata per i principianti per il prezzo contenuto;
  • carta da legatoria, decorata con disegni colorati e fantasie floreali, indicata per la realizzazione di scatole e di origami modulari;
  • carta metallizzata;
  • carta velina, sottile e resistente, indicata per i modelli complessi ma molto difficile da maneggiare;
  • carta sandwich, realizzata incollando uno o più strati di carta velina su sottili fogli di alluminio (come quelli usati in cucina), indicata per i modelli molto complessi;
  • carta washi fabbricata a mano, carta molto costosa di produzione giapponese, decorata con disegni che richiamano la stoffa dei kimono, indicata per la realizzazione di modelli semplici;
  • carta pelle di elefante (o finta pergamena).

Curiosità

Il record del mondo per la più piccola rana ad origami è detenuto da Josiah Hamilton che, il 30 marzo 2007 all’età di dodici anni, ha realizzato senza l’aiuto di strumenti esterni una figura lunga 2 mm, che salta una distanza di 10 cm.

Frank Llyod Wright

BIOGRAFIA:

  • 1867: Nasce negli Stati Uniti, il giorno 8 Giugno
  • 1867 a Richland Center, nello stato del Wisconsin.
  • 1887: Dopo due anni di ingegneria all’università del Wisconsin , entra nello studio di I.L. Silsbee, poi in quello di L. Sullivan, con il quale collaborò per sei anni.
  • 1889: Sposa Catherine Lee Tobin, da cui ha 6 figli.
  • 19091910: Parte per il suo primo viaggio in Europa, in compagnia di Mamah Cheney.
  • 1911: Di ritorno dall‘Europa si trasferisce nella località di Spring green nel Wisconsin, realizzando per sé e per la propria famiglia il complesso noto come Taliesin. Risalgono a questo periodo anche i Midway Gardens a Chicago (1914), personale rielaborazione dell’architettura orientale.
  • 1912: Pubblica il libro The Japanese Print: An Interpretation.
  • 1915: Apre uno studio a Tokyo in Giappone. Progetta l’Imperial Hotel.
  • 1923: Divorzia dalla prima moglie Catherine e sposa Miriam Noel.
  • 1928: Sposa la terza moglie, Olga Hinzenberg, da cui ha una figlia.
  • 1940: Il MOMA di New York organizza la mostra retrospettiva: “The Work of Frank Lloyd Wright.”
  • 1958: Pubblica il suo ultimo scritto: The Living City.
  • 1959: Muore il 9 Aprile, a Phoenix.

D: Salve signor wright dopo aver dato un occhiata alle sue notizie biografiche ci può dire quali studi ha svolto ?

R:La mia formazione scolastica fu scarsa, non mi diplomai nemmeno,fui infatti ammesso all’università, che comunque lasciai dopo due semestri improduttivi, come “studente esterno”. In questo periodo lessi due libri che mi colpirono molto: “The stone of Venice” di John Ruskin e il Dizionario di architettura di Eugéne Viollet-le- Duc.

D: i suoi genitori hanno influito in maniera positiva o in maniera negativa nella sua formazione?

R:Beh per quanto riguarda mio padre,non fu una figura positiva durante la mia infanzia- adolescenza,fece molti lavori,tra cui il pastore protestante, era uno spendaccione e per questo motivo aveva continui problemi di denaro. Prima dei miei 11 anni ci trasferimmo per ben tre volte!

Il rapporto che ebbi con mio padre può essere definito di Amore-Odio, Amore per la passione che mi tramandò per la musica e Odio per i suoi modi autoritari e l’indifferenza che mostrò nei miei confronti

D: per quanto riguarda sua madre invece?anche lei ha influito negativamente  sulla sua crescita?

R: No credo infatti che mia madre riuscì ad indicarmi la strada da seguire. Nel 1876 vide all’esposizione internazionale indetta per il centenario di Philadelphia i giochi fröbeliani. Non so a questo punto se sia stata lei o Fröbel  a farmi conoscere e seguire la strada delle forme geometriche ma sicuramente entrambi hanno contribuito a darmi un’importante indicazione

D: Perché sostiene che Fröbel lo aiutò a immettersi nella giusta strada?

R:Friedrich Fröbel era un pedagogo, egli sosteneva che cartoni dalle forme geometriche e cubi di legno, dipinti di colori primari, avrebbero guidato i bambini alla conoscenza della natura, della composizione, della scomposizione di volumi principali in secondari e delle relazioni tra diverse forme.

 Questi giocattoli potevano infatti essere combinati in infiniti modi, bi o tridimensionalmente, e, come sosteneva Fröbel, erano molto utili se usati per rappresentare con forme geometriche oggetti naturali. Mia madre acquistò questi giochi e mi costrinse a “comporre bene”

D: e questi giochi segnarono il suo percorso di vita?

R: Direi proprio di si!

Una volta divenuto famoso ebbi modo di dire:

“I lisci triangoli di cartone e i levigati blocchetti di acero restarono impressi nella mia memoria infantile e costituirono una esperienza indimenticabile”.

D: di quale corrente architettonica fa parte?

R:Assieme a Le Corbusier, che rappresenta forse in maniera più emblematica l’altro lato dell’architettura moderna (quello della cosiddetta architettura funzionale), sono anch’io un esponente del Movimento Moderno in architettura ed uno dei rappresentanti di maggior rilievo dell‘Architettura Organica.

D: ci può spiegare cos’è l’architettura organica?

R: L’architettura organica è una branca dell’architettura moderna che promuove un’armonia tra l’uomo  e la natura, la creazione di un nuovo sistema in equilibrio tra ambiente costruito e ambiente naturale attraverso l’integrazione dei vari elementi artificiali propri dell’uomo (costruzioni, arredi, ecc.), e naturali dell’intorno ambientale del sito. Tutti divengono parte di un unico interconnesso organismo, spazio architettonico.

D: Quindi possiamo definirla come un’architettura che abbandona il gusto classico?

D:Ovviamente!Un’architettura che ha questa idea trainante, rifiuta la mera ricerca estetica o il semplice gusto superficiale, così come una società organica dovrebbe essere indipendente da ogni imposizione esterna contrastante con la natura dell’uomo.

Indipendenza quindi da ogni classicismo, ma libertà interpretativa di affrontare qualsiasi tema, armonizzandolo con il tutto e cercandone soluzioni che secondo me dovrebbero divenire perfette

D: questo tipo di architettura in che modo influenzò le sue idee?

R: Romanticamente fui legato all’ideologia individualistica del “pionierismo” statunitense, mi volsi all’approfondimento del rapporto fra l’individuo e lo spazio architettonico e fra questo e la natura, assunta come fondamentale riferimento esterno. Questi miei interessi mi portarono a prediligere come tema le case d’abitazione unifamiliari (“prairie houses”), che costituirono l’aspetto determinante del mio primo periodo di attività.

D:Signorina adesso le faccio io una domanda!Vuole sapere come definisco il mio pensiero architettonico?

“… Per Architettura Organica io intendo un’architettura che si sviluppi dall’interno all’esterno , in armonia con le condizioni del suo essere , distinta da un’architettura che venga applicata dall’esterno…”.

D: come nacque l’idea della prairie house?

R:Verso la fine del 1800 l’architettura domestica si riferiva ad un eclettismo neoclassico; la casa era uno status symbol, un luogo di sfoggio. Alle porte del 1900 nacque dalla scontentezza dello status quo sociale ed economico la ‘Prairie House (casa nella prateria); una vera rivoluzione. Radunai nel mio studio sulla Chicago road un certo numero di architetti, molti dei quali venivano dallo studio di Adler e Sullivan. Da questo gruppo di collaboratori, che mi aiutarono nelle tantissime commesse, nacque la cosiddetta Prairie School, attiva dal 1890 al 1910.

D: cos’ha quindi previsto insieme ad i suoi collaboratori?

R: 1. Disposizione orizzontale delle linee e delle masse. Sono presenti però elementi verticali come i pilastri e i comignoli.

2. Attenzione per la Natura, sviluppo organico, secondo le forme degli gli organismi naturali.

3. Relazioni dell’edificio con il paesaggio, della pianta con i prospetti, degli interni con gli esterni.

4. Funzionalità.

5. Uso di materiali naturali, valorizzandoli, eliminando la decorazione eclettica.

6. Apertura interna tra i locali della casa. Al piano terreno i locali si compenetrano, “la scatola è rotta”.

7. Recupero di modelli Vernacolari (Four square house).

8. Uso delle nuove tecnologie. Il ritorno all’artigianato sarebbe dovuto servire per risollevare la qualità della architettura. La macchina dava una nuova estetica ai materiali.

9. Integrazione dei servizi tecnici come il riscaldamento e l’illuminazione.

D: qual è la concezione della prairie house?

R:La Prairie house è insieme moderna, per l’estetica e l’uso della tecnologia, e tradizionale, per la fede nella sicurezza, nella privacy e nella famiglia.

D: ci può nominare alcune delle sue prairie house?

R: Nominarle tutte sarebbe troppo lungo e noioso perciò ne cito solo alcune tra le quali:

  • HICKOX HOUSE (1900, Kankee, IL)
  • DANA HOUSE (1902, Springfield, IL)
  • W. WILLITS HOUSE (1902, Highland Park, IL)
  • FRICKE HOUSE (1902, Oak Park, IL)
  • THOMAS HOUSE (THE HAREM) (1902, Oak Park, IL)
  • HURTLEY HOUSE (1902, Oak Park, IL)

D: signor wright  la ringraziamo per essere stato qui con noi a raccontarci della sua interessante vita!!!

R: Si figuri!E’ sempre un piacere per me spiegare qualcosa della mia architettura e delle mie forme aiutando giovani desiderosi di conoscenza!

” Love is the virtue of the Heart

Sincerity the virtue of the Mind

Decision the virtue of the Will

Courage the virtue of the Spirit .”

Amore è la virtù del cuore,

Sincerità è la virtù della mente,

Decisione è la virtù della volontà,

Coraggio la virtù dello spirito.”

SIMMETRIA

http://www.baby-flash.com/simmetria/simmetria1/simmetria1.swf

ORTO CARTESIANO
http://www.iprase.tn.it/prodotti/software_didattico/giochi/Matematica/prova/orto.html

FORME GEOMETRICHE

http://www.baby-flash.com/forme_geometriche.swf

TANGRAM

http://www.raffaellostudenti.it/geniotto_geniotta/tangram.swf

I frattali sono importanti per vari motivi. Quello più evidente ed appariscente è che, nel loro complesso, si adattano meglio a spiegare le varie forme presenti in natura.

Molti oggetti che vediamo nella nostra vita quotidiana hanno una struttura, per così dire, frattale: per esempio una foglia di felce. Se fate attenzione, notate come ogni parte della foglia sia simile all’intera foglia. A destra si può vedere un frattale (un frattale iterativo, per la precisione), che con una semplice legge matematica rappresenta appunto una foglia di felce, con una grande fedeltà delle forme.

Ovviamente ciò non è rigorosamente vero, perchè c’è un limite intrinseco nelle cose reali che la matematica non ha: le dimensioni.Quando ingrandiamo una figura frattale (o comunque matematica, ideale), a successivi ingrandimenti vediamo sempre una parte che è coerente con il resto; si ingrandisce senza interruzione di continuità: questa è una proprietà che gli oggetti reali non hanno. Per esempio, la foglia di felce reale non è un frattale perfetto, perchè le ripetizioni non sono tali all’infinito: ad un certo punto i particolari si fondono, poi ingrandendo ancora di più la somiglianza non c’è più perchè appaiono le cellule, etc.

Per lo stesso motivo non è un frattale ideale, per esempio, un albero con i suoi rami. Tuttavia, se non sono frattali da questo punto di vista, lo sono dal punto di vista statistico. Godono di una autosomiglianza statistica, insomma: ad esempio, il rapporto fra zone piene e zone vuote rimane costante (sempre entro un determinato range di dimensioni).

Un’infinità di forme naturali ha natura frattale: piante, montagne, coste, nuvole, alberi etc, mentre ben poche hanno una struttura geometrica definita (a parte alcuni esseri unicellulari, aventi delle forme simili a vari poliedri, non mi viene in mente nessun altro esempio).

                                                                                                                                                                                                                                                                Per questo è stato detto (Mandelbrot fra i primi), che la natura non è euclidea, ma frattale. In un certo senso possiamo dire che questo riscontrerebbe un poco di verità anche logicamente; non dico per noi, che sicuramente siamo molto più complicati, ma per esempio per una pianta è molto più conveniente per il suo DNA contenere poche regole generali di crescita, piuttosto che avere memorizzato la posizione di ogni singolo ramo e di ogni singola foglia, non trovate? Come una semplice regola algebrica determina la ricchezza dell’insieme di Mandelbrot, così poche leggi di costruzione (i cui rudimenti consistono nei frattali L-System) possono determinare la ricchezza di una pianta.

…..Perché la geometria viene spesso definita fredda e arida? Uno dei motivi è la sua incapacità di descrivere la forma di una nuvola, di una montagna, di una linea costiera, di un albero. Osservando la natura vediamo che le montagne non sono dei coni, le nuvole non sono delle sfere, le coste non sono cerchi, ma sono degli oggetti geometricamente molto complessi…

Benoit Mandelbrot “Gli oggetti frattali”

Geometria euclidea

Euclide nei suoi Elementi formula per primo una descrizione assiomatica della geometria.

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi la voce Geometria euclidea.

La geometria coincide fino all’inizio del XIX secolo con la geometria euclidea. Questa definisce come concetti primitivi il punto, la retta e il piano, e assume la veridicità di alcuni assiomi, gli Assiomi di Euclide. Da questi assiomi vengono quindi dedotti dei teoremi anche complessi, come il Teorema di Pitagora ed i teoremi della geometria proiettiva.

La scelta dei concetti primitivi e degli assiomi è motivata dal desiderio di rappresentare la realtà, e in particolare gli oggetti nello spazio tridimensionale in cui viviamo. Concetti primitivi come la retta ed il piano vengono descritti informalmente come “fili e fogli di carta senza spessore”, e d’altro canto molti oggetti della vita reale vengono idealizzati tramite enti geometrici come il triangolo o la piramide. In questo modo, i teoremi forniscono fin dall’antichità degli strumenti utili per le discipline che riguardano lo spazio in cui viviamo: meccanica, architettura, geografia, navigazione, astronomia.

Un esagono non convesso. La somma degli angoli interni in un esagono è sempre 720*

Geometria piana

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi la voce Geometria piana.

La geometria piana si occupa delle figure geometriche nel piano. A partire dal concetto primitivo di retta, vengono costruiti i segmenti, e quindi i poligoni come il triangolo, il quadrato, il pentagono, l’esagono, ecc.

Le quantità numeriche importanti nella geometria piana sono la lunghezza, l’angolo e l’area. Ogni segmento ha una lunghezza, e due segmenti che si incontrano in un estremo formano un angolo. Ogni poligono ha un’area. Molti teoremi della geometria piana mettono in relazione le lunghezze, angoli e aree presenti in alcune figure geometriche. Ad esempio, la somma degli angoli interni di un triangolo risulta essere un angolo piatto, e l’area di un rettangolo si esprime come prodotto delle lunghezze dei segmenti di base e altezza. La trigonometria studia le relazioni fra gli angoli e le lunghezze.

Geometria solida o Stereometria

Il dodecaedro è uno dei cinque solidi platonici. Platone nel Timeo ritenne che il dodecaedro rappresentasse la forma dell’universo.

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi la voce Geometria solida.

La geometria solida studia le costruzioni geometriche nello spazio. Con segmenti e poligoni si costruiscono i poliedri, come il tetraedro, il cubo e la piramide.

I poliedri hanno vertici, spigoli e facce. Ogni spigolo ha una lunghezza, ed ogni faccia ha un’area. In più, il poliedro ha un volume. Si parla inoltre di angoli diedrali per esprimere l’angolo formato da due facce adiacenti in uno spigolo. Molti teoremi mettono in relazione queste quantità: ad esempio il volume della piramide può essere espresso tramite l’area della figura di base e la lunghezza dell’altezza.

Le sezioni coniche (ellisse, parabola, iperbole) sono ottenute come intersezione di un cono con un piano.

Figure curve

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi la voce Sezione conica.

La geometria euclidea considera anche alcune figure curve. Le figure “base” sono la circonferenza nel piano e la sfera nello spazio, definite come luogo dei punti equidistanti da un punto fissato. Partendo da queste figure, ne vengono definite altre come il cono. A queste figure vengono associate grandezze analoghe ai poliedri: si parla quindi di lunghezza della circonferenza, di area del cerchio e di volume della sfera.

L’intersezione nello spazio di un cono con un piano forma una nuova figura curvilinea: a seconda dell’inclinazione del piano, questa è una ellisse, una parabola, un’iperbole o una circonferenza. Queste sezioni coniche sono le curve più semplici realizzabili nel piano.

Ruotando una figura intorno ad una retta, si ottengono altre figure curve. Ad esempio, ruotando un’ellisse o una parabola si ottengono l’ellissoide ed il paraboloide. Anche in questo caso, il volume dell’oggetto può essere messo in relazione con altre quantità.

La geometria euclidea non fornisce però sufficienti strumenti per dare una corretta definizione di lunghezza e area per molte figure curve.

Geometria cartesiana

Un ellissoide può essere rappresentato in geometria analitica come luogo di punti che soddisfano una certa equazione, del tipo  \frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} + \frac {z^2}{c^2} =1 , nelle variabili x,y,z associate ai tre assi cartesiani.

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi la voce Geometria analitica.

La geometria cartesiana (o analitica) ingloba le figure ed i teoremi della geometria euclidea, introducendone di nuovi grazie a due altre importanti discipline della matematica: l’algebra e l’analisi. Lo spazio (ed il piano) sono rappresentati con delle coordinate cartesiane. In questo modo ogni figura geometrica è descrivibile tramite una o più equazioni (o disequazioni).

Rette e piani sono oggetti risultanti da equazioni di primo grado, mentre le coniche sono definite tramite equazioni di secondo grado. Equazioni polinomiali di grado superiore definiscono nuovi oggetti curvi.

Il calcolo infinitesimale permette di estendere con precisione i concetti di lunghezza e area a queste nuove figure. L’integrale è un utile strumento analitico per determinare queste quantità. Si parla in generale quindi di curve e superfici nel piano e nello spazio.

Uno spazio vettoriale è una collezione di oggetti, chiamati “vettori”, che possono essere sommati e riscalati.

Spazi vettoriali

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi le voci Algebra lineare e Spazio vettoriale.

Retta (passante per l’origine), piano (contenente l’origine) e spazio sono esempi di spazi vettoriali di dimensione rispettivamente 1, 2 e 3: infatti ogni punto è esprimile rispettivamente con 1, 2 o 3 coordinate. La geometria cartesiana è facilmente estendibile alle dimensioni superiori: in questo modo si definiscono spazi di dimensione 4 e oltre, come insiemi di punti aventi 4 o più coordinate.

Grazie all’algebra lineare, lo studio delle rette e dei piani nello spazio può essere esteso allo studio dei sottospazi di uno spazio vettoriale, di dimensione arbitraria. Lo studio di questi oggetti è strettamente collegato a quello dei sistemi lineari e delle loro soluzioni.

In dimensione più alta, alcuni risultati possono contrastare con l’intuizione geometrica tridimensionale a cui siamo abituati. Ad esempio, in uno spazio di dimensione 4, due piani possono intersecarsi in un punto solo.

Geometria affine

Due piani nello spazio sono paralleli oppure si intersecano in una retta, come in figura.

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi la voce Geometria affine.

In uno spazio vettoriale l’origine (cioè il punto da cui partono gli assi, di coordinate tutte nulle) gioca un ruolo fondamentale: per poter usare in modo efficace l’algebra lineare, si considerano infatti solo sottospazi passanti per l’origine. In questo modo si ottengono delle relazioni eleganti fra i sottospazi, come la formula di Grassmann.

Nella geometria affine il ruolo predominante dell’origine è abbandonato. I sottospazi non sono vincolati, e possono quindi essere paralleli: questo crea una quantità considerevole di casistiche in più. In particolare, la formula di Grassmann non è più valida. Lo spazio affine è considerato (fino alla scoperta della relatività ristretta) come lo strumento migliore per creare modelli dell’universo, con 3 dimensioni spaziali ed eventualmente 1 dimensione temporale, senza “origini” o punti privilegiati.

Geometria algebrica

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi la voce Geometria algebrica.

Dal XIX secolo in poi l’algebra diventa uno strumento preponderante per lo studio della geometria. Nel tentativo di “abbellire” il quadro, e di ricondurre molte proprietà e teoremi ad un numero sempre minore di proprietà fondamentali, la geometria analitica viene progressivamente inglobata in un concetto più ampio di geometria: si aggiungono i “punti all’infinito” (creando così la geometria proiettiva), e si fanno variare le coordinate di un punto non solo nei numeri reali, ma anche in quelli complessi.

La geometria proiettiva è la geometria “vista da un occhio”. In questa geometria due rette si incontrano sempre.

Geometria proiettiva

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi la voce Geometria proiettiva.

La geometria proiettiva nasce come strumento legato al disegno in prospettiva, e viene formalizzata nel XIX secolo come un arricchimento della geometria cartesiana. La geometria proiettiva include i “punti all’infinito” ed elimina quindi alcune casistiche considerate fastidiose, come la presenza di rette parallele.

In questa geometria molte situazioni si semplificano: due piani distinti si intersecano sempre in una retta, e oggetti differenti della geometria analitica (come le coniche ellisse, parabola e iperbole) risultano essere equivalenti in questo nuovo contesto.

La geometria proiettiva è anche un esempio di compattificazione: similmente a quanto accade con la proiezione stereografica, aggiungendo i punti all’infinito lo spazio diventa compatto, cioè “limitato”, “finito”.

Varietà algebriche definite da alcuni semplici polinomi nel piano: due circonferenze, una parabola, una iperbole, una cubica (definita da un’equazione di terzo grado).

Varietà algebriche

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi la voce Varietà algebrica.

La geometria algebrica verte essenzialmente sullo studio dei polinomi e delle loro radici: gli oggetti che tratta, chiamati varietà algebriche, sono gli insiemi dello spazio proiettivo, affine o euclideo definiti come luoghi di zeri di polinomi.

Nel XX secolo il concetto di varietà algebrica assume un’importanza sempre maggiore. Rette, piani, coniche, ellissoidi, sono tutti esempi di varietà algebriche. Lo studio di questi oggetti raggiunge risultati impressionanti quando le coordinate dello spazio vengono fatte variare nel campo dei numeri complessi: in questo caso, grazie al teorema fondamentale dell’algebra, un polinomio ha sempre delle radici.

Questo fatto algebrico di grande importanza (esprimibile dicendo che i numeri complessi formano un campo algebricamente chiuso) ha come conseguenza la validità di alcuni teoremi potenti di carattere molto generale. Ad esempio, il teorema di Bézout asserisce che due curve di grado d e d‘ nel piano che non hanno componenti in comune si intersecano sempre in dd‘ punti, contanti con un’opportuna molteplicità. Questo risultato necessita che il “piano” sia proiettivo e complesso. In particolare, è certamente falso nell’ambito classico della geometria analitica: due circonferenze non devono intersecarsi necessariamente in 4 punti, possono anche essere disgiunte.

Lo studio della geometria nello spazio proiettivo complesso aiuta anche a capire la geometria analitica classica. Le curve nel piano cartesiano reale possono ad esempio essere viste come “sezioni” di oggetti più grandi, contenuti nel piano proiettivo complesso, ed i teoremi generali validi in questo “mondo più vasto e perfetto” si riflettono nel piano cartesiano, pur in modo meno elegante.

Come lo studio della geometria affine fa largo uso dell’algebra lineare, quello delle varietà algebriche attinge a piene mani dall’algebra commutativa.

Geometria differenziale

Un punto di sella ha curvatura negativa

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi la voce Geometria differenziale.

La geometria differenziale è lo studio di oggetti geometrici tramite l’analisi. Gli oggetti geometrici non sono necessariamente definiti da polinomi (come nella geometria algebrica), ma sono ad esempio curve e superfici, cioè oggetti che, visti localmente con una lente di ingrandimento, sembrano quasi rettilinei o piatti. Oggetti cioè “senza spessore”, e magari un po’ curvi. Come la superficie terrestre, che all’uomo sembra piatta, benché non lo sia.

Questo concetto di “spazio curvo” è espresso tramite la nozione di varietà differenziabile. La sua definizione non necessita neppure di “vivere” in uno spazio ambiente, ed è quindi usata ad esempio nella relatività generale per descrivere intrinsecamente la forma dell’universo. Una varietà può essere dotata di una proprietà fondamentale, la curvatura, che viene misurata tramite oggetti matematici molto complessi, come il tensore di Riemann. Nel caso in cui lo spazio sia una curva o una superficie, questi oggetti matematici risultano più semplici: si parla ad esempio di curvatura gaussiana per le superfici.

Su una varietà dotata di curvatura, detta varietà riemanniana, sono definite una distanza fra punti, e le geodetiche: queste sono curve che modellizzano i percorsi localmente più brevi, come le rette nel piano, o i meridiani sulla superficie terrestre.

Geometrie non euclidee

Triangoli, quadrilateri e pentagoni formano una tassellazione del piano nella geometria iperbolica qui rappresentata dal disco di Poincaré. Questa geometria non-euclidea è rappresentata in molte litografie di Maurits Escher.

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi la voce Geometria non euclidea.

Con la geometria differenziale è possibile costruire un “piano” in cui valgono tutti i postulati di Euclide, tranne il quinto, quello delle parallele. Questo postulato ha avuto un’importanza storica fondamentale, perché ci sono voluti 2000 anni per dimostrare la sua effettiva indipendenza dai precedenti. Asserisce che, fissati una retta r ed un punto P non contenuto in r, esiste un’unica retta s parallela a r e passante per P.

Una geometria non euclidea è una geometria in cui valgono tutti gli assiomi di Euclide, tranne quello delle parallele. La sfera, con le geodetiche che giocano il ruolo delle rette, fornisce un esempio semplice di geometria non euclidea: due geodetiche si intersecano sempre in due punti antipodali, e quindi non ci sono rette parallele. Un tale esempio di geometria è detta ellittica. Esistono anche esempi opposti, in cui ci sono “così tante” rette parallele, che le rette s parallele a r e passanti per P sono infinite (e non una). Questo tipo di geometria è detta iperbolica, ed è più difficile da descrivere concretamente.

Topologia

Il nastro di Möbius è una superficie non orientabile: ha infatti una “faccia” sola. Questo è un oggetto studiato in topologia.

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi la voce Topologia.

La topologia è infine lo studio delle forme, e di tutte quelle proprietà degli enti geometrici che non cambiano quando questi vengono deformati in modo continuo, senza strappi. La topologia studia tutti gli oggetti geometrici (definiti in modo algebrico, differenziale, o quant’altro) guardando solo la loro forma. Distingue ad esempio la sfera dal toro, perché quest’ultimo ha “un buco in mezzo”. Studia le proprietà di connessione (spazi “fatti di un pezzo solo”) e di compattezza (spazi “limitati”), e le funzioni continue fra questi.

Le forme degli oggetti vengono codificate tramite oggetti algebrici, come il gruppo fondamentale: un gruppo che codifica in modo raffinato la presenza di “buchi” in uno spazio topologico.

Geometria e geometrie

Nel 1872 Felix Klein elaborò un programma di ricerca, l’Erlanger Programm, in grado di produrre una grande sintesi delle conoscenze geometriche ed integrarle con altri settori della matematica quali la teoria dei gruppi.

Nella prospettiva di Klein una geometria consiste nello studio di proprietà di uno spazio che sono invarianti rispetto ad un gruppo di trasformazioni:

  • La geometria euclidea si occupa di proprietà che sono invarianti rispetto a isometrie, cioè trasformazioni che preservano lunghezze e angoli.
  • La geometria affine si occupa di proprietà che sono invarianti per trasformazioni affini. In ambito di geometria affine non ha più senso il concetto di “angolo” o di “lunghezza” e tutti i triangoli sono “equivalenti”.
  • La geometria proiettiva studia le proprietà che sono invarianti per trasformazioni proiettive, cioè trasformazioni che possono essere ottenute mediante proiezioni. In ambito proiettivo tutte le coniche sono equivalenti potendo essere trasformata l’una nell’altra da una proiezione.
  • La topologia studia proprietà che sono invarianti per deformazioni continue. Dal punto di vista topologico una tazza ed una ciambella diventano equivalenti potendo essere deformate l’una nell’altra ma rimangono distinte da una sfera che non può essere “bucata” senza una trasformazione discontinua.

Applicazioni

La geometria analitica e l’algebra lineare forniscono importanti collegamenti tra l’intuizione geometrica e il calcolo algebrico che sono diventati ormai una parte costitutiva di tutta la matematica moderna e delle sue applicazioni in tutte le scienze.

La geometria differenziale ha trovato importanti applicazioni nella costruzione di modelli per la fisica e per la cosmologia.

La geometria piana e dello spazio fornisce inoltre degli strumenti per modellizzare, progettare e costruire oggetti reali nello spazio tridimensionale: è quindi di fondamentale importanza in architettura e in ingegneria come anche nel disegno e nella computer grafica.

Geometria descrittiva

esempio di raccordo tangenziale tra due quadriche di rotazione

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi la voce Geometria descrittiva.

La geometria descrittiva è una disciplina che permette, attraverso determinate costruzioni grafiche, di rappresentare oggetti tridimensionali già esistenti (rilievo) e/o da costruire (progettazione).

L’applicazione informatizzata della geometria descrittiva permette oggi la creazione di superfici e solidi, anche ad alta complessità tridimensionale. Inoltre, e soprattutto, ne permette il controllo in modo inequivocabile di ogni loro forma e dimensione.

I maggiori campi d’impiego della geometria descrittiva sono quelli dell’architettura, dell’ingegneria e quelli del design industriale.

La nascita della Geometria si fa risalire all’epoca degli antichi egizi. Erodoto racconta che a causa dei fenomeni di erosione e di deposito dovuti alle piene del Nilo, l’estensione delle proprietà terriere egiziane variavano ogni anno e dovevano quindi essere ricalcolate a fini fiscali. Nacque così il bisogno di inventare tecniche di misura della terra (geometria nel significato originario del termine).

Lo sviluppo della Geometria pratica è molto antico, per le numerose applicazioni che consente e per le quali è stata sviluppata, e in epoche remote fu a volte riservata a una categoria di sapienti con attribuzioni sacerdotali.

Presso l’Antica Grecia, soprattutto per via dell’ influenza del filosofo ateniese Platone[senza fonte], si diffuse massicciamente l’uso della riga e del compasso (sebbene pare che questi strumenti fossero già stati inventati altrove) e soprattutto nacque l’idea nuova di usare tecniche dimostrative. La geometria greca servì di base per lo sviluppo della geografia, dell’astronomia, dell’ottica, della meccanica e di altre scienze, nonché di varie tecniche, come quelle per la navigazione. Nella civiltà greca, oltre alla geometria euclidea che si studia ancora a scuola e alla teoria delle coniche, nacquero anche la geometria sferica e la trigonometria (piana e sferica).